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『これからの知的生活』
今後の未来の知的生活と
それを味わうための生き方！
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数学の本性 |
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この世の姿を解明しようと努める者。
その者たちが信頼し利用してきたツール＝数学
多くの数学者が数学を利用してきたがそもそも数学とは何かということ
について心底語られることはなかった。数学の本性をここに紹介しよう。
● 数学とは
数学とは
脳内の表象機能と論理機能との折り合いである。
脳内の表象機能が幾何学(図形の学問)のフィールド。
脳内の論理機能が代数学(数の学問)のフィールド。
その２つが融合して現代の数学がある。
その折り合いをどうつけるかの研究・解析。
それが数学の歴史である
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● 表象機能と論理機能
表象機能と論理機能とは具体的になんだろうか？
表象機能とは、人が頭の中で、図形を思い浮かべた時に利用している脳の
機能を指している。
論理機能とは、人間が頭の中で、数の大小の判断や計算を行っている時の
脳の機能を指している。
正確にいえば、表象機能も論理機能のいずれも、表象の一部である。
幾何学では図形を扱い、解析学では方程式や数を扱う。なので簡単に言えば、
図形を利用する時に、もっとも活発に働く脳の機能が表象機能であり、数や
方程式を利用する時に、もっとも活発に働く脳の機能が論理機能である。
動画 テキスト
（＊） 詳細は以下のサイトを参照。
『 稲穂黄金の未来の科学者
』
『 稲穂黄金の究極の数学
』
● ２つの融合(表象機能と理論機能）
この表象機能こと幾何学と 論理機能こと代数学を最初に融合した人。
それが近代哲学の祖 デカルトである。
デカルト座標の登場によって、あらゆる図形は目盛りの突いた座標上に
展開され、関数化されることとなった。
しかしデカルト自身、この融合が最終的にどのような結果ををもたらすか、
その融合の真の意味を理解するまでには至らなかった。
哲学者カントがまだ生まれていなかったからだ。
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● ２つの融合から生まれた矛盾①
代数学と幾何学の融合とは、つまるところ
脳の表象機能に対する脳の論理機能の解釈となる。
その融合の過程で発生した矛盾が数を拡張させてきた。
この歴史は古い。
２０００年以上前、直角三角形の斜辺の長さの２乗は残りの他の辺の
２乗の和に等しいというピタゴラスの定理である。
分数で表わせない数が浮かびあがった。実数の発見である。
これも直角三角形という図形とその当時の数の範囲(有理数)との間に
発生した矛盾である。
数学はここで数を拡張する必要に迫られた。
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● ２つの融合から生まれた矛盾②
同じく３００年前に３次方程式の解の中に発生した矛盾がある。
解が２乗して-1になる数＝虚数解である。
その虚数解を許容したカルダノ。
２００年以上前にオイラーによって虚数 i が定義された。
複素数の登場である。
数学は再び数を拡張する必要に迫られた。
こののち虚数が幾何学(図形)分野の飛躍的な進歩を見せた。
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● すべてはここにある。
ゼノンのパラドックス、複素数の開発、ヒルベルト構造主義、
ゲーデルの無矛盾性。数学の歩んできた道。
２０世紀最大の数学者ヒルベルト。数学基礎論を世に知らしめたゲーデル。
 
ダフィット・ヒルベルト クルト・ゲーデル
数学のその道筋は脳内のの２つの機能(表象機能と論理機能)を、いかに
折り合いをつけて矛盾なく、つなぎ合わせるかにあった。
（正確に言えば脳内の抽象的表象と直覚的表象２の折り合いをどうつけるか）
すべてはここに端を発した疑問であった。
この矛盾を解消するために生まれた探究作業、それこそ数学である。
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● 数学の歴史
図形を数で解釈するときに生まれる矛盾。
数学者はそれを何とか理解しようとして数を拡張させ数学に組み込んできた。
脳の表象機能に対する脳の論理機能の解釈
その方法を模索が数学の歴史である。
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● 矛盾の解消 ＝ 複素数の登場
人間の脳内に浮かびあがる表象上の図形。
その図形を数の理論で方程式化する過程で次々と矛盾が発生した。
数（＝理論的な部分）を拡張させることで、その矛盾を解決してきた。
自然数 ⇒ 整数 ⇒ 有利数 ⇒ 実数 ⇒ 複素数
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● 数学の歴史 ≒ 論理の拡張 ≒ 数の拡張①
表象機能の方は拡張することができない。
表象機能とは我々が今見ている、この世界そのものであるからだ。
だから数学は論理的部分をつかさどる道具（＝数）を拡張させて
表象と論理の２つの融合を目指してきた。
そしてそこに発生した矛盾を解決してきた。
そして人類はついに複素数にたどり着いた。
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● 数学の歴史 ≒ 論理の拡張 ≒ 数の拡張②
数学は表象機能と論理機能の２つに折り合いをつけ続けた歴史で
あることは説明してきた。
常に表象機能に合わせて論理機能側の代名詞である数
を拡張させることで数学は進歩・発展してきた。
【 数学の歴史 】
幾何学 ⇔ 代数学
|| ||
表象機能 ⇔ 論理機能
（図形） （数）
！矛盾が発生したとき！
↓ 改造・拡張
図形 ⇔ 数（自然数⇒・・・⇒複素数）
矛盾解消
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● 例外 ≒ 非ユークリッド幾何学
数学は常に論理機能の数を拡張させて表象機能にすり合わせて
きただけかというとそれだけではない。
例外もある。 非ユークリッド幾何学である。
表象部分を拡張させた例である。
図形がどうなろうと関係なしに論理的構成のみに特化して理論に従い
いままでこうだと認識してきた幾何学的性質を拡張させた。
論理構成を動かさずに図形の解釈を動かして考えたのである。
非ユークリッド幾何学の創設は、リーマン、ロバチェフスキー、ボヤイによってなされた。
 
ベルンハルト・リーマン ニコライ・ロバチェフスキー
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● 例外 ≒ ヒルベルトの構造主義
非ユークリッド幾何学をさらに進めたヒルベルトの構造主義はさらに
表象部分を拡張させた。もっというと無視したという方が適当であろう。
この時代の数学者は不安に襲われた。
もともと思っていた図形とはそもそもなんだ? 直線とは？
再考を促されたのだ。
表象機能にすり寄るのではなく、ただ数の都合で進んでいった数学。
構造が成り立てばその結果が表わす意義はどう解釈しても良いと
いう１つの考えを数学者の頭に浮かばせた。
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● 数学者は哲学を知らない
ヒルベルトをもってしても数学が脳内の機能（表象+論理）に負っている
ことに触れることにはつながらなかった。
ヒルベルトの考察は、確かにある程度、哲学の知識を前提に行われていた。
なれど彼の前にたくさん現実的な数学の課題があり、彼はそれどころではなかった。
 
ダフィット・ヒルベルト
脳の表象機能と論理機能の折り合いに困難があり、それを解決することが
数学の歴史そのものであること。
複素数はその２つの機能を結ぶ数であること。
それについて数学者は思い至ることはなかった。
数学者は概ね哲学を知らないものであるからだ。
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● カントの功績と影響
数学者は概ね哲学を知らないものである。
それでもカントの偉大な功績は鋭敏な他分野の探究者に影響を与えずには
いられなかった。 鋭敏な数学者を刺激し続けた。
カントがその著書『 純粋理性批判 』で述べた展開した証明方法そのもの
の中に数学全体を見直させる契機を含んでいた。
カントの思考方法そのものが、数学における四則演算の意味を見直させた。
それが数学において群論をもたらす主要因となった。
また同時にユークリッド幾何学の基本定義を見直すきっかけも与えた。
数学者に、数学自体の意味、定義自身の意味を問わせることになった。
数学がヒルベルトの構造主義、ゲーデルの無矛盾性、超数学(メタ数学)までに
辿りつけたのはカントの存在があればこそなのである。
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● 哲学者の影響
カントの影響はそれだけではない。
すべての科学分野に決定的な影響を与えた。
（詳細に以下の（＊）のサイトで語っているので参照してほしい。）
カントの圧倒的な影響を把握することができるだろう。
真に優れた哲学者が登場したときには、必ず数学、物理学、化学、生物学
などのの自然科学にとても大きな影響を与える。
近代において自然科学の発展に絶大な影響を与えた２人がいる。
その一人が、このカントである。
そうしてもう１人が、かのショーペンハウアーである。
近代、現代の優れた科学者に対して絶大な影響を与え続けている。
人類が生んだ天才 人類最上最高の頭脳をもつ天才
カントの業績はカント以外不可能である ショーペンハウアーの影響は絶大である
 
イマヌエル・カント アルトゥル・ショーペンハウアー
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（＊） 詳細は以下のサイトを参照。
『 稲穂黄金のカント
』
『 稲穂黄金のショーペンハウアー
』
『 稲穂黄金のスウェデンボルグ
』
『 稲穂黄金の未来の物理学者へ
』
『 稲穂黄金の未来の哲学者へ
』
『 稲穂黄金の未来の科学者へ
』
● 論理の最終判断は整数的である。
論理の最終的判断は確かに整数的（有理数）である。
１９世紀にクロネッカーが自然数、そして自然数の比であらわせる有理数
のみを神が与えたもうた数であるといったことの半分はまあ、あっている。
しかしクロネッカーも数学者の域をでていない。
人間の脳の論理機能の最終判断が整数的だからその途中で数を拡張して
無理数、複素数が必要になったといえる。
仮に論理機能が表象機能と同レベルの最終判断が可能ならば
そもそも数を拡張する事などまったく必要なかったし、このような
数学の発展の歴史などもなかった。
なぜなら、とうの昔に数学は完成されていたからだ。
クロネッカーはそのことにまったく気づいていなかった。
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● 全体像 ( 数学証明時の脳機能)
表象（図形、建物、平面 ・・・・・）
｜｜
人間の脳の表象機能（数学でいえば図形）
↑
表象を解釈→ ｜
｜
◎論理的矛盾の解消を開始▼
｜
サポート→ ｜ ← ← ← ← ←
｜ ｜
サポート→ ｜ ← ← ｜
｜ ｜ ｜
｜ ｜→ → 複素数
｜ ｜ ↑ 拡張
｜ 無理数 ←表象を理解する為に要請された数
↓ ↑ 拡張
｜ → →
｜
◎論理的矛盾の解消を終了▲
｜
有理数
↓
自然数、整数
↓
証明 → ↓ ← 証明できた！脳が納得！
↓
人間の脳の論理機能（計算）
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● 複素数は結び役である①
複素数が人間の表象機能(空間)と論理機能(数)の折り合いを付けるもので
あることは述べた。 図形は空間を意味し、数は時間の形式を含む。
だから複素数は人間の思考の上で空間と時間の折り合いを付けるものとなる。
空間と時間上に現れる物質は因果性が必ず適用される。
因果律は物質の振る舞いに関連する。
我々の表象の空間と時間の上でその両者を融合した形で現れる物質。
複素数は空間と時間上で自由に動きまわるその物質の働きを論理的に説明
する数となる。
その意味で複素数は時間、空間、物質の論理的思考の結び役である。
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● 複素数は結び役である②
複素数は究極的には物質の振る舞いを人間が論理的に理解する為の
道具に近づいていく。 究極の複素数の登場である。
２２世紀、数学は究極の複素数に辿りつく。
空間と時間の上に現れる物質が物質ならば必ず適用される規則（＝因果律）
に究極の複素数は密接に関連する。
さらにその究極の複素数を用いて人間の認識形式の２大ルール(空間と時間)
の関係をについても、論理的に説明しようと試みるのだ。
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（＊） 詳細は以下のサイトを参照。
『 稲穂黄金の究極の数学
』
● ２０世紀は分離する時代
１９世紀の非ユークリッド幾何学の登場から現在に至るまで数学は
代数学と幾何学を分離して研究する時代である。
脳内の表象作用から数学を解き放ち研究することが１つ研究課題であった。
・非ユークリッド幾何学論
・トポロジー論
・多様体論
代数学と幾何学にそれぞれ分離して考察する時代を経てきた。
代数学は幾何学にとらわれない代数学だけの性質の抽出。
幾何学は代数学にとらわれない幾何学だけの性質の抽出。
この研究は２１世紀中盤までに起こる再融合の下準備として今後も続く。
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● ２１世紀は再融合の幕開け
幾何学と代数学は再び融合する。
脳の機能の解明とともに再び融合が試みられる。
幾何学単独の研究と代数学単独の研究が進んだ後に
再び数学は出会う。
４００年前のデカルトにより統合された幾何学と代数学。
ここから統合された数学が数百年研究された。
そして今から１５０年以上前に再び別れて個々の性質が研究された数学。
その数学が２１世紀中に再び融合する。
脳の研究成果の向上とともに進んでいくのだ。
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